题解 P1024 【一元三次方程求解】

其实公式法虽然赖皮但不失为一种好方法 $ $ #### 0.前备知识： **一元三次方程的求解**。 对于 $$ax^3+bx^2+cx+d=0\ (a\ne0)$$ 求解方法：第一步：配方，换元，去三次项系数 于是只需解形如 $$x'^3+px'+q=0$$ 的方程。 $ $ $ $ $ $ 又有 $$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$ $$\qquad\quad=a^3+b^3+3ab(a+b)$$ 所以令a+b=X，有 $$X^3=a^3+b^3+3abX$$ 即 $$X^3+(-3ab)X+(-a^3-b^3)=0$$ 也就是说，要解 $$x'^3+px'+q=0$$ 只需求出符合条件的a、b即可。这样就直接$X=a+b$，解出结果。 $$\begin{cases}-3ab=p\\-a^3-b^3=q\end{cases}$$ 即 $$\begin{cases}-27a^3b^3=p^3\\-a^3-b^3=q\end{cases}$$ 而这很容易解决，解出$p^3$和$q^3$再开根即可。 (其实解出来符合条件的实数对(a,b)只有一组，三个解为 $$x_1=a+b$$ $$\quad\,\ x_2=\omega a+\overline{\omega}b$$ $$\quad\,\ x_3=\overline{ω}a+\omega b$$ 其中$\omega$为三次单位根$\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$,$\overline{\omega}$为三次单位根$\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$) $ $ ------------ #### 1.由此可得出著名的卡尔丹公式： 对于$ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0)$, $$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},q=\frac{27a^2d-9abc+2b^3}{27a^3}$$ $$x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!+\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!\!+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!-\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!-\frac{b}{3a}$$ $$\quad\ x_2=\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!+\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!\!+\!\overline{\omega}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!-\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!-\frac{b}{3a}$$ $$\quad\ x_3=\overline{\omega}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!+\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!\!+\!\omega\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\!-\!\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\frac{p}{2}\right)^3}}\!-\frac{b}{3a}$$ 其中出现复数，把实部和虚部分别用一个`double`存储并分别处理即可。听说有种神奇的东西叫`complex`? 实际实现时，把$\dfrac{q}{2}$和$\dfrac{p}{3}$以及$\sqrt{\left(\dfrac{q}{2}\right)^2\!\!+\!\left(\dfrac{p}{2}\right)^3}$作为一个整体存储。 $ $ ------------ #### 2.代码： 略。（让$\mathtt{dalao}$帮忙实现一下吧。） $ $ ------------ #### 3.性能分析： 1.比盛金公式慢，但精度好（盛金公式要用到误差很大的`sin`和`cos`） 2.和二分相当且速度受数据范围、精度要求影响小 ##### Update:2019/8/7,更新了一些排版上的bug，同时纠正了一个错误。手打公式不免可能出一些错误，望管理大大包容~ ##### 另吐槽：$\LaTeX$里的$\omega$好丑